Alkalmazott matematikus szak
|
ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉSI SZAK 1. A mesterképzési szak megnevezése: alkalmazott matematikus (Applied Mathematics) 2. A mesterképzési szakon szerezhető végzettségi szint és a szakképzettség oklevélben szereplő megjelölése végzettségi szint: mester- (magister, master; rövidítve: MSc-) fokozat szakképzettség: okleveles alkalmazott matematikus a szakképzettség angol nyelvű megjelölése: Applied Mathematician választható specializációk: alkalmazott analízis, sztochasztika, pénzügy-matematika, diszkrét matematika, operációkutatás, számítástudomány, műszaki matematika 3. Képzési terület: természettudomány 4. A mesterképzésbe történő belépésnél előzményként elfogadott szakok: 4.1. Teljes kreditérték beszámításával vehető figyelembe: a matematika alapképzési szak. 4.2. A 9.3. pontban meghatározott kreditek teljesítésével elsősorban számításba vehető: a természettudomány, a műszaki, az informatika képzési területek alapképzési szakjai, a gazdaságtudományok képzési terület gazdaság- és pénzügy-matematikai elemzés alapképzési szakja. 4.3. A 9.3. pontban meghatározott kreditek teljesítésével vehetők figyelembe továbbá azok az alapképzési, mesterképzési szakok, illetve a felsőoktatásról szóló 1993. évi LXXX. törvény szerinti szakok, amelyeket a kredit megállapításának alapjául szolgáló ismeretek összevetése alapján a felsőoktatási intézmény kreditátviteli bizottsága elfogad. 5. A képzési idő félévekben: 4 félév 6. A mesterfokozat megszerzéséhez összegyűjtendő kreditek száma: 120 kredit a szak orientációja: elméletorientált (60-70 százalék) a diplomamunka elkészítéséhez rendelt kreditérték: 20 kredit a szabadon választható tantárgyakhoz rendelhető minimális kreditérték: 6 kredit 7. A szakképzettség képzési területek egységes osztályozási rendszere szerinti tanulmányi területi besorolása: 461/0540 8. A mesterképzési szak képzési célja és a szakmai kompetenciák A képzés célja alkalmazott matematikusok képzése, akik tudományos kutatási szintet elérő szakmai felkészültségükkel magas szintű matematikai ismereteik és modellezési tapasztalataik birtokában képesek alkotó módon a gyakorlatban felmerülő matematikai problémák megoldására. Nyitottak szakterületük és a rokon területek új tudományos eredményeinek kritikus befogadására. Felkészültségük alapján képesek a gyakorlati problémák modellezésére, megoldására és a megoldások gyakorlati kivitelezésének irányítására. Felkészültek tanulmányaik doktori képzésben történő folytatására. 8.1. Az elsajátítandó szakmai kompetenciák 8.1.1. Az alkalmazott matematikus a) tudása Rendszerszinten és összefüggéseiben ismeri a matematika tudományának módszereit az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika területén. Összefüggéseiben ismeri az alkalmazott matematika eredményeit az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika területén. Ismeri az alkalmazott matematika különböző részdiszciplínái közötti mélyebb, átfogóbb kapcsolatokat, egymásra épülésüket. Ismeri az absztrakt matematikai gondolkodást, az absztrakt matematikai fogalmakat. Ismeri az alkalmazott matematikai modellek megalkotásához és szimulálásához szükséges informatikai, számítástechnikai ismeretanyagot. Specializáció választása nélkül továbbá Ismeri a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében. Ismeri a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait. Ismeri a kódoláselmélet és kriptográfia alapjait, a gyakorlatban legelterjedtebb kódok és titkosírások elméleti hátterét és alkalmazhatóságát. Ismeri a kiszámíthatósági kérdések elméleti hátterét. Ismeri a legfontosabb matematikai és statisztikai szoftverek használatát és azok matematikai hátterét, alkalmazhatóságuk korlátait. Alkalmazott analízis specializáción továbbá Ismeri a matematikai analízis természettudományos, ipari és üzleti szférában történő alkalmazásait. Ismeri az egyes alkalmazási területeken felmerülő problémák közönséges és parciális differenciálegyenletekkel történő modellezési lehetőségeit, a modellek matematikai tulajdonságait. Ismeri a matematikai modellezéshez szükséges fontosabb matematikai programcsomagokat. Sztochasztika specializáción továbbá Ismeri a valószínűségszámítás, a statisztika és a sztochasztikus folyamatok természettudományos, ipari és pénzügyi alkalmazásait. Ismeri az alapvető természeti jelenségekben megnyilvánuló sztochasztikus, véletlenszerű törvényszerűségeket, megfelelő tudással rendelkezik e jelenségek tudományos igényű kísérleti tanulmányozásához és elméleti értelmezéséhez. Ismeri a statisztikai törvények elemzésére alkalmas programcsomagokat. Diszkrét matematika specializáción továbbá Ismeri a diszkrét matematika klasszikus és aktuális elméleti eredményeit. Ismeri a diszkrét matematika algoritmikus módszereit, a kriptográfia, algoritmuselmélet, kódelmélet, diszkrét optimalizálás hatékony módszereit. Ismeri a diszkrét matematikai modellezésekhez használatos fontosabb matematikai programcsomagokat. Operációkutatás specializáción továbbá Ismeri az ipari, kereskedelmi, pénzügyi, mezőgazdasági, kommunikációs rendszerek irányítási, működtetési és optimalizálási problémáinak megoldása során alkalmazható matematikai modelleket, azok számítógépes megoldását. Ismeri a különféle operációkutatási algoritmusok matematikai hátterének elemeit, ezek a hatékonyságának elemzési módszereit. Számítástudomány specializáción továbbá Ismeri az algoritmuselmélet, bonyolultságelmélet szakterületét. Rendelkezik a számítógépes problémák modellezéséhez, innovatív megoldásaihoz szükséges tudással. Pénzügy-matematika specializáción továbbá Mikro- és makroökonómiai, valamint pénzügyi alapismeretekkel rendelkezik. Ismeri a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait. Ismeri a sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésének eljárásait. Tisztában van a sztochasztikus és pénzügyi folyamatok, idősorok, a kockázati folyamatok, az életbiztosítás és a nem-életbiztosítás matematikai elméletével. Ismeri a pénzügyi folyamatok, biztosítási kérdések matematikai elemzéseit, modelljeit. Műszaki matematika specializáción továbbá Ismeri a műszaki problémák matematikai modellezésének lehetőségeit. Ismeri a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében. Ismeri a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait. Ismeri a számítógép geometriai és grafikai alkalmazási módjait. b) képességei Képes a matematika tudományának módszereit alkalmazni az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika területén. Képes a környező világban adódó jelenségek matematikai modelljeinek megalkotására, a modern matematika eredményeinek felhasználására a jelenségek megmagyarázása, leírása érdekében. Képes a gyakorlati életben megfigyelhető összefüggések absztrakt szinten történő megragadására. Képes a matematika alkalmazási területein megszerzett ismereteit alkotó módon kombinálni és felhasználni az élő és élettelen természetben, a műszaki és informatikai világban, a gazdasági és pénzügyi életben felmerülő problémák megoldásában. Képes a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő bonyolult rendszerek áttekintésére, matematikai elemzésére és modellezésére, döntési folyamatok előkészítésére. Képes a problémák belső törvényszerűségeinek megértésére, feladatok megtervezésére és magas szintű végrehajtására. Képes a gyakorlati életben adódó döntéshelyzetek mögött esetlegesen rejlő optimalizációs problémák megfogalmazására, az azokból levonható következtetések nem-szakemberek számára való kommunikációjára. Képes a számítástechnika eszközeinek felhasználásával a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő számítási feladatok elvégzésére. Képes a nagy számításigényű, illetve nagy tárkapacitású feladatok felismerésére, alternatív megközelítések elemzésére. Képes a matematikai eredmények, érvelések és az azokból származó következtetések világos bemutatására, a magyar és idegen nyelvű (angol) szakmai kommunikációra. Képes a matematikai szakterület problémáit szakemberek és laikusok számára egyaránt szakszerűen megfogalmazni. c) attitűdje Törekszik az alkalmazott matematika új eredményeinek megismerésére. Törekszik az alkalmazott matematika eredményeinek minél szélesebb körű alkalmazására. Törekszik arra, hogy megszerzett alkalmazott matematikai ismeretei segítségével megkülönböztesse a szakterületén a tudományosan megalapozott és a kellően alá nem támasztott állításokat. Törekszik az alkalmazott matematika modern alkalmazási lehetőségei közötti további összefüggések meglátására, a felismert összefüggéseinek szintézisére és azok magas szintű, a tudománya eszközeivel megalapozott értékelésére. Nyitott és fogékony az alkalmazott matematika területén elsajátított gondolatmenetek, módszerek, fogalmak új alkalmazási területeken való felhasználására, új eredmények elérésére. Folyamatosan törekszik ismeretei bővítésére, új matematikai kompetenciák megszerzésére. d) autonómiája és felelőssége Felelősen, önkritikusan és reálisan ítéli meg az alkalmazott matematikai területén megszerzett tudásának mértékét. Megszerzett kritikai gondolkodásmódja és rendszerszerű gondolkodása révén felelősen vesz részt csoportmunkában, működik együtt akár más szakterületek képviselőivel. Magas szintű alkalmazott matematikai ismeretei birtokában önállóan választja meg az egyes alkalmazási problémák megoldása során használható módszereket, eljárásokat. Tudományos kutatásai, illetve a matematika alkalmazásai során fontosnak tartja, hogy azokat a legmagasabb etikai normák figyelembe vételével végezze. Tisztában van egyfelől a matematikai gondolkodás, a precíz fogalomalkotás fontosságával, másfelől a matematika alkalmazása során adódó modellek korlátaival, így véleményét ezek figyelembe vételével alakítja ki. A matematika alkalmazása során a megszerzett ismeretei alapján kialakított véleményét felelősen képviseli. 9. A mesterképzés jellemzői 9.1. Szakmai jellemzők 9.1.1. A szakképzettséghez vezető tudományágak, szakterületek, amelyekből a szak felépül: az alkalmazott matematikus képzést alapozó ismeretek (algebra és számelmélet alapjai, analízis alapjai, geometria alapjai, valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai, informatika és operációkutatás alapjai) 15-25 kredit; alkalmazott matematikusi szakmai ismeretek 20-30 kredit (az alábbi, a képzés tantervében meghatározott legalább három ismeretkörből legalább három témakör ismeretanyaga választandó): a) diszkrét matematika és algoritmuselmélet (Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítőfák, legrövidebb utak, folyamok. Kereső-fák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac.) 5-15 kredit; b) operációkutatás (Folytonos és sztochasztikus optimalizálás, Alternatíva tételek, Minkowski-Weyl-tétel, pivot és belsőpontos algoritmusok, elipszoid- módszer; konvex optimalizálás: szeparációs tételek, konvex Farkas-tétel, Karush-Kuhn-Tucker-tétel, Lagrange- függvény és nyeregpont-tétel, Newton-módszer, belső pontos algoritmus; a sztochasztikus programozás alapmodelljei és megoldó módszerei; gyakorlati problémák. Diszkrét optimalizálás. Max folyam min vágás, Egerváry- dualitás, poliéderes kombinatorika, teljesen duális egészértékűség, párosítás-poliéder; gráfalgoritmusok, Magyar-módszer, Edmonds-Karp-algoritmus; NP-teljes problémák algoritmikus megközelítései: dinamikus programozás, Lagrange-relaxáció, korlátozás és szétválasztás, mohó algoritmusok; gyakorlati problémák.) 5-15 kredit; c) alkalmazott analízis (Ortogonális polinomok. Trigonometrikus- és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier-transzformáció. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel. Legjobb approximáció polinomokkal. Jackson tételei. Interpoláció. Spline-függvények. Approximáció racionális függvényekkel. Lagrange-interpoláció Lebesgue-függvénye. Erdős-Bernstein-sejtés az optimális alappontokról. Grünwald-Marzinkiewicz-tétel. Stabilitáselmélet. Periódikus megoldások. Peremérték-feladatok lineáris differenciálegyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange- differenciálegyenletek. Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton- rendszerek. Legendre-transzformáció. Euler- Lagrange-egyenletek, Hamilton- egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek. Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Karakterisztikus függvény, első integrálok. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchy-feladat hiperbolikus egyenletekre. Vegyes feladat hullámegyenletre. Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Peremérték- feladatok potenciálegyenletre. Fixponttételek és alkalmazásaik.) 5-15 kredit; d) sztochasztikus folyamatok (Négyzetesen integrálható folyamatok. Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők. Az idősorok analízisének elemei. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik. Az Itő-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok.) 5-15 kredit; 9.1.2. A képzés követelményei specializáció nélkül vagy specializációs modul felvételével teljesíthetőek. A specializáció kreditértéke a képzés egészén belül 40-60 kredit. a) specializáció választása nélküli ismeretkörök: numerikus matematika (algebra numerikus módszerei, függvényminimalizálás, differenciálegyenletek numerikus megoldása) 7-15 kredit, differenciálegyenletek (peremértékfeladatok, stabilitás) 7-20 kredit, matematikai statisztika fogalmai és módszerei (becslési módszerek, likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák) 6-15 kredit, információelmélet, algoritmusok és bonyolultságuk (Shannon-tétel, hibajavító kódok, bonyolultsági osztályok) 6-15 kredit, integrálgeometria (Santalo-féle klasszikus eredmények, Radon-féle integráltranszformáció) 6-15 kredit, alkalmazott matematika legalább 6 kredit; b) a specializációk ismeretkörei: ba) alkalmazott analízis specializáció: modellezés, természettudományos ismeretek (modellalkotás és természettudományos alkalmazások, információtechnológiai és vállalati ismeretek) 9-15 kredit, differenciálegyenletek numerikus módszerei (a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei, elliptikus és időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei) 5-15 kredit, differenciálegyenletek (dinamikai rendszerek, parciális differenciálegyenletek elmélete) 10-20 kredit, alkalmazott matematika legalább 5 kredit; bb) sztochasztika specializáció: statisztika (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei, többdimenziós statisztikai eljárások, statisztikai programcsomagok) 15-25 kredit, időfüggő sztochasztikus rendszerek (sztochasztikus folyamatok, sztochasztikus analízis, pénzügyi folyamatok, idősorok elemzése) 15-25 kredit, alkalmazott matematika területéről legalább 6 kredit; bc) pénzügy-matematika specializáció: statisztika (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei, statisztikai programcsomagok) 5-10 kredit, sztochasztikus rendszerek (sztochasztikus folyamatok, idősorok elemzése, biztosításmatematika) 15-25 kredit, gazdaságtudományok (mikroökonómia, makroökonómia, pénzügyi alapismeretek) 15-25 kredit, alkalmazott matematika legalább 6 kredit; bd) diszkrét matematika specializáció: kombinatorikai algoritmusok (mélységi és szélességi keresés, hálózati folyamok, maximális folyam-minimális vágás tétel) 5-15 kredit, Gröbner-bázisok (polinomgyűrűk, Nullstellensatz) 5-10 kredit, véges testek és polinomok 5-10 kredit, diszkrét optimalizálás (algoritmusok lineáris diofantikus egyenletekre, Khachiyan-módszer, ellipszoid-módszer) 7-15 kredit, algebrai kódelmélet 6-15 kredit, algoritmuselmélet (digitális információ kódolása és dekódolása, konvolúciós kódok) 6-15 kredit, kriptográfia (privát kulcsó kriptorendszerek, nyilvános kulcsú kriptorendszerek, RSA) 5-10 kredit, alkalmazott matematika legalább 5 kredit; be) operációkutatás specializáció: diszkrét optimalizálás (egész értékű programozás, dinamikus programozás, gráf algoritmusok, matroid-elmélet) 9-24 kredit, folytonos optimalizálás (lineáris és nemlineáris optimalizálás, szemidefinit programozás, minimax-tételek) 9-24 kredit, operációkutatás számítógépes módszerei 2-6 kredit, operációkutatási (alkalmazott matematikai) projekt 3-6 kredit, alkalmazott matematika területéről legalább 10 kredit; bf) számítástudomány specializáció: adatbányászat 3-6 kredit, WWW és hálózatok matematikája 3-6 kredit, bonyolultságelmélet (algoritmusok és alsó becslések az erőforrás-használatra, véges automaták, bonyolultságosztályok) 6-9 kredit, algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása (max-vissza sorrend és alkalmazásai, minimális súlyú fenyők, keresőfák) 6-9 kredit, kriptográfia és adatbiztonság (szimmetrikus kulcsú rendszerek, nyilvános kulcsú titkosítás, hazai és nemzetközi szabványok) 6-9 kredit, információelmélet, kódok és szimmetrikus struktúrák 4-6 kredit, alkalmazott matematika területéről legalább 10 kredit; bg) műszaki matematika specializáció: műszaki mechanika és fizika (Lagrange-mozgásegyenletek, Hamilton-elv, Maxwell-egyenletek) 7-15 kredit, Fourier-analízis, differenciálegyenletek (Fourier-sorok, inverziós formula, Fourier-transzformált, wavelet) 7-15 kredit, lineáris algebra és irányításelmélet (lineáris rendszerek, optimális irányítás, Pontrjagin-féle maximumelv) 7-15 kredit, numerikus matematika (numerikus lineáris algebra, variációs feladatok, Ritz-módszer, numerikus és szimbolikus számolások) 7-15 kredit, sztochasztika (többváltozós statisztikai módszerek, kontingenciatáblák, idősorok elemzése, tömegkiszolgálási rendszerek) 7-15 kredit, alkalmazott matematika területéről legalább 5 kredit. 9.2. Idegennyelvi követelmény A mesterfokozat megszerzéséhez egy élő idegen nyelvből államilag elismert középfokú (B2), komplex típusú nyelvvizsga vagy ezzel egyenértékű érettségi bizonyítvány vagy oklevél szükséges. 9.3. A 4.2. és 4.3. pontban megadott oklevéllel rendelkezők esetén a mesterképzési képzési ciklusba való belépés minimális feltételei: A mesterképzésbe való belépéshez szükséges minimális kreditek száma 65 kredit a korábbi tanulmányokból az algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűség-számítás, statisztika területeiről. Ezen belül legfeljebb 10 kredit tartalomban beszámíthatók kiterjedt matematikai apparátusra épülő más tárgyak ismeretei is. A mesterképzésbe való felvétel feltétele, hogy a hallgató a korábbi tanulmányai alapján legalább 50 kredittel rendelkezzen. A hiányzó krediteket a felsőoktatási intézmény tanulmányi és vizsgaszabályzatában meghatározottak szerint meg kell szerezni. |
